Question

（普通班）已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．
（實(shí)驗(yàn)班）已知函數(shù)R)．
（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（實(shí)驗(yàn)班）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，．
，                                 
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，               
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：．   
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． 
，         
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205513289462.png" style="vertical-align:middle;" />，所以恒成立，
故在上單調(diào)遞增，                        
要使恒成立，則，解得．
解法二：             
（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
即．                
（2）當(dāng)時(shí)，令，對(duì)稱軸，
則在上單調(diào)遞增，又    
① 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)時(shí)，， 不合題意，舍去  
綜上所述：                                
20．(普通班)解：（1）∵焦距為4，∴ c=2………………………………………………1分
又∵的離心率為……………………………… 2分
∴，∴a=，b=2………………………… 4分
∴標(biāo)準(zhǔn)方程為………………………………………6分
（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得……………………7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，∴＜0…………8分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分
∴＜0…………… 11分
∴k＜……… 12分
經(jīng)檢驗(yàn)得k＜時(shí)，直線l與橢圓相交，∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……13分

略