Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$滿足對任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）•（f（x₁）-f（x₂））＜0成立，那么a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{4}$，1）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$為減函數(shù)，故$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+3a≥a\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：若對任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）•（f（x₁）-f（x₂））＜0成立，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}2a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 2a-1+3a≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{4}$，1），
故選：C．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．