Question

（2011•上海模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2n2+pn，a7=11，若a_k+a_k+1＞12，則正整數(shù)k的最小值為

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知前n項和的式子以及a₇的值，算出p=-15，從而Sn=2n2-15n．再用等差數(shù)列的性質(zhì)將a_k+a_k+1＞12轉(zhuǎn)化為
S_2k=k（a_k+a_k+1）＞12k，得到關(guān)于k的不等式，解之即得k的取值范圍，從而得到正整數(shù)k的最小值．

解答：解：∵前n項和Sn=2n2+pn，
∴S₇=2×7²+7p=98+7p，S₆=2×6²+6p=72+6p
可得a₇=S₇-S₆=26+p=11，所以p=-15
∴Sn=2n2-15n
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴a_k+a_k+1=a₁+a_2k
因此{(lán)a_n}的前2k項和S_2k=

2k(a1+a2k+1)

2

=k（a_k+a_k+1）＞12k
又∵S_2k=2（2k）²-15（2k）=8k²-30k
∴8k²-30k＞12k，解之得k＞

21

4

（舍負(fù)）
因此，正整數(shù)k的最小值為6
故答案為：6

點評：本題給出等差數(shù)列的前n項和的表達(dá)式，叫我們求滿足a_k+a_k+1＞12的最小正整數(shù)k的值，著重考查了等差數(shù)列的通項與求和等知識，屬于基礎(chǔ)題．