Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax+4．（1）解不等式f（x）+f（-x）＜10x；（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）將自變量代入函數(shù)關系式，建立一元二次不等式，解之即可；
（2）函數(shù)的對稱軸為x=-

a

2

，將對稱軸移動，討論對稱軸與區(qū)間[1，2]的位置關系，合理地進行分類，從而求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）f（x）+f（-x）＜10x，即2x²+8＜10x，…（2分）
化簡整理得x²-5x+4＜0，解得1＜x＜4．…（4分）
（2）函數(shù)f（x）=x²+ax+4圖象的對稱軸方程是x=-

a

2

．
①當-

a

2

≤1，即a≥-2時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，所以f（x）_min=f（1）=a+5；            …（6分）
②當1＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜-2時，f（x）在區(qū)間[1， -

a

2

]上單調遞減，在[-

a

2

， 2]上單調遞增所以，f(x)min=f(-

a

2

)=4-

a2

4

；                       …（8分）
③當-

a

2

≥2，即a≤-4時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，所以f（x）_min=f（2）=2a+8．
綜上，g(a)=

a+5，a≥-2 4- a2 4 ，-4＜a＜-2 2a+8，a≤-4.

…（10分）

點評：函數(shù)的對稱軸是解題的關鍵．由于對稱軸所含參數(shù)不確定，而給定的區(qū)間是確定的，這就需要分類討論．利用函數(shù)的圖象將對稱軸移動，合理地進行分類，從而求得函數(shù)的最值，當然應注意若求函數(shù)的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論．