Question

設a∈R，函數f（x）=x³+ax²+（a-3）x的導函數是f′（x），若f′（x）是偶函數，則以下結論正確的是（　　）

A．y=f（x）的極大值為-2

B．y=f（x）的極大值為2

C．y=f（x）的極小值為-1

D．y=f（x）的極小值為1

Answer 1

分析：先求出函數的導數，再利用偶函數的性質f（-x）=f（x）建立等式關系，解之即可．

解答：解：對f（x）=x³+ax²+（a-3）x求導，得
f′（x）=3x²+2ax+a-3
又f′（x）是偶函數，即f′（x）=f′（-x）
代入，可得
3x²+2ax+a-3=3x²-2ax+a-3
化簡得a=0
∴f′（x）=3x²-3
令f′（x）=0，即3x²-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函數的單調增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函數的單調減區(qū)間為（-1，1）
∴函數在x=1時取得極小值為：-2，極大值為2
故選B．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的單調區(qū)間與極值，解題的關鍵是利用函數的性質求出函數的解析式．