Question

設(shè)x，y∈R

i

，

j

為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量

a

=(x+5)

i

+y

j

，

b

=(x-5)

i

+y

j

，|

a

|-|

b

|=8，求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線

分析：由給出的向量及|

a

|-|

b

|=8得到

(x+5)2+y2

-

(x-5)2+y2

=8，其幾何意義為動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F₁（-5，0）的距離與到定點(diǎn)F₂（5，0）距離差為常數(shù)8．結(jié)合雙曲線的定義得答案．

解答： 解：∵

a

=(x+5)

i

+y

j

，

b

=(x-5)

i

+y

j

，
由|

a

|-|

b

|=8，得

(x+5)2+y2

-

(x-5)2+y2

=8，
即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F₁（-5，0）的距離與到定點(diǎn)F₂（5，0）距離差為常數(shù)8．
∵8＜10，∴動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為以F₁（-5，0）、F₂（5，0）為焦點(diǎn)，以8為實(shí)軸的雙曲線的右支．
由a=4，c=5，得b²=c²-a²=25-16=9．
∴點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程為

x2

16

-

y2

9

=1 (x≥4)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了向量莫得幾何意義，考查了雙曲線的定義，是中檔題．