(2012•石景山區(qū)一模)若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(Ⅰ)證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關于n的表達式;
(Ⅲ)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
分析:(I)利用點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象,結合新定義,可得數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,兩邊取對數(shù),即可證得數(shù)列{lg(2an+1)}為首項是lg5公比為2的等比數(shù)列;
(II)由題意,lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1,從而可得數(shù)列{an}的通項,進而先求對數(shù)的和,即可求得結論;
(III)確定數(shù)列{bn}的通項,利用等比數(shù)列的求和公式可結論.
解答:(I)證明:因為an+1=2an2+2an,2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2
所以數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.--------(2分)
由以上結論lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1),
所以數(shù)列{lg(2an+1)}為首項是lg5公比為2的等比數(shù)列.--------(4分)
(II)解:由題意,lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1,
2an+1=52n-1an=
1
2
(52n-1-1)
.--------(6分)
lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5,
Tn=52n-1.--------(9分)
(III)解:bn=
lgTn
lg(2an+1)
=
(2n-1)lg5
2n-1lg5
=2-
1
2n-1

∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn=2n-2+
1
2n-1
.--------(13分)
[注:若有其它解法,請酌情給分]
點評:本題考查新定義,考查數(shù)列的通項與求和,解題的關鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.
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(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關于n的表達式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值.

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