Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)n展開(kāi)式中，第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是14：3．
（1）求n．
（2）求含x²項(xiàng)的系數(shù)．
（3）求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由題意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，由此求得n的值．
（2）在(

3	x

-

1

2 3 x

)n 的開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得含x²項(xiàng)的系數(shù)．
（3）根據(jù)

10-2r

3

∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，從而求得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

解答： 解：（1）由題意可得

C 4 n

C 2 n

=

n(n-1)(n-2)(n-3) 4!

n(n-1) 2

=

(n-2)(n-3)

12

=

14

3

，解得n=10．
（2）由于(

3	x

-

1

2 3 x

)n=(

3	x

 -

1

2 3 x

)10，它的開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 10

•(-

1

2

)r•x

10-2r

3

，
令

10-2r

3

=2，求得r=2，∴含x²項(xiàng)的系數(shù)為

45

4

．
（3）根據(jù)

10-2r

3

∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，故第3、6、9項(xiàng)是有理項(xiàng)，
即有理項(xiàng)分別為

C

2 10

•(-

1

2

)2•x2、

C

5 10

•(-

1

2

)5、

C

8 10

•(-

1

2

)8•x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．