Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線BC過坐標(biāo)原點(diǎn)，與橢圓E相交于B，C，點(diǎn)Q為橢圓E上的一點(diǎn)，若直線QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不為0，求證：k_QB•k_QC為定值；
（3）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=

2π

3

時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)及點(diǎn)Q在橢圓上即可證明；
（3）利用兩角差的正切公式及斜率公式即可證明．

解答：解：（1）由圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0，令y=0，化為x2+

3

x-6=0，解得x=2

3

或

3

，
∴A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，∴a=2

3

，c=

3

，∴b2=(2

3

)2-(

3

)2=9．
∴橢圓E的方程為

x2

12

+

y2

9

=1；
（2）由于點(diǎn)B、C是直線與橢圓的兩交點(diǎn)，∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)B（m，n），則C（-m，-n）．
設(shè)Q（x，y）．由于點(diǎn)B、Q在橢圓上，則

m2

12

+

n2

9

=1，

x2

12

+

y2

9

=1；
兩式相減得

x2-m2

12

+

y2-n2

9

=0，即

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

．
∴k_QC•k_QB=

y+n

x+m

•

y-n

y-m

=

y2-n2

x2-m2

=-

3

4

，
∴kQB•kQC=-

3

4

．
（3）設(shè)P（x，y），∵F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
∵β-α=

2π

3

，∴tan（β-α）=-

3

，
∴

y x+ 3 - y x- 3

1+ y x+ 3 × y x- 3

=-

3

，化為x²+y²-2y=3，即x²+（y-1）²=4．
∴點(diǎn)P在定圓x²+（y-1）²=4上．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)、斜率的計(jì)算公式及兩角差的正切公式、圓的方程是解題的關(guān)鍵．