Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過移項(xiàng)整理得到a_n+1=，求得，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）法一：利用a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）通過基本不等式，裂項(xiàng)法求出，再利用放縮法得到結(jié)果．
法二：和法一，類似，只是裂項(xiàng)法前，用的是放縮法，然后裂項(xiàng)法，求和放縮法推出證明的結(jié)果．
解答：解：（1）注意到a_n+1≠0，所以原式整理得：a_n+1=
由a₁=2，a_n+1=得對(duì)n∈N^*，a_n≠0．
從而由a_n+1=，兩邊取倒數(shù)得：∴數(shù)列是首項(xiàng)為-，公比為的等比數(shù)列∴∴．∴a_n=故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=
…（4分）
（2）證法1：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）當(dāng)i≥2時(shí)，∵a_i（a_i-1）===
…（8分）∴
=2+1-＜3…（12分）
證法2：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）當(dāng)i≥2時(shí)，∵a_i（a_i-1）=…（8分）∴
=
＜2+＜3…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的證明，放縮法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．