Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點，若|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于0
（1）求向量

AB

的坐標；
（2）是否存在實數(shù)a，使得拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若存在，求實數(shù)a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設向量

AB

=(μ，υ)的值，根據(jù)|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程組可解出向量

AB

的坐標．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，根據(jù)對稱性找出x₁，y₁，x₂，y₂的關系，聯(lián)立方程可解．

解答：解：（1）設

AB

=(μ，υ)，
則由

AB |=2 OA AB • OA =0

，得

μ2+υ2=100 4μ-3υ=0

解得

μ=6 υ=8

或

μ=-6 υ=-8

因為

OB

=

OA

+

AB

=(μ+4，υ-3)
所以υ-3＞0，υ=8
故

AB

=（6，8）；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為
拋物線上關于直線OB對稱的兩點，
則

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x2-x2 =-2

，又因為

y1=ax12-1 y2=ax22-1

可得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂為方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的兩個相異實根
于是，由△=

4

a2

-4

5-2a

2a2

＞0，可得a＞

3

2

故當a＞

3

2

時，
拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩個點．

點評：本題主要考查向量的基本運算和對稱點的問題．向量運算是高考必考題，注意運算法則的記憶．