Question

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)，若|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0
（1）求向量

AB

的坐標(biāo)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)向量

AB

=(μ，υ)的值，根據(jù)|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程組可解出向量

AB

的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)，根據(jù)對稱性找出x₁，y₁，x₂，y₂的關(guān)系，聯(lián)立方程可解．

解答：解：（1）設(shè)

AB

=(μ，υ)，
則由

AB |=2 OA AB • OA =0

，得

μ2+υ2=100 4μ-3υ=0

解得

μ=6 υ=8

或

μ=-6 υ=-8

因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OB

=

OA

+

AB

=(μ+4，υ-3)
所以υ-3＞0，υ=8
故

AB

=（6，8）；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為
拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)，
則

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x2-x2 =-2

，又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

y1=ax12-1 y2=ax22-1

可得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂為方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的兩個相異實(shí)根
于是，由△=

4

a2

-4

5-2a

2a2

＞0，可得a＞

3

2

故當(dāng)a＞

3

2

時，
拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的基本運(yùn)算和對稱點(diǎn)的問題．向量運(yùn)算是高考必考題，注意運(yùn)算法則的記憶．