Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且過點（5，-

19

）．
（1）求此雙曲線方程；
（2）若點M（x₀，y₀）在雙曲線右支上，且

MF1

⊥

MF2

，求點M的坐標(biāo)；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程；
（2）先求出向量

MF1

，

MF2

的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件，得到方程，再由點在雙曲線上滿足方程，解得即可得到M的坐標(biāo)；
（3）求出三角形的高，底邊長，運用三角形的面積公式可得其面積．

解答： 解：（1）∵e=

2

，∴可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，
∵過點（5，-

19

），∴25-19=λ，即λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6；
（2）F₁（-2

3

，0），F(xiàn)₂（2

3

，0），
∵

MF1

=（-2

3

-x₀，-y₀），

MF2

=（2

3

-x₀，-y₀），
且

MF1

⊥

MF2

，
∴

MF1

•

MF2

=x₀²-12+y₀²=0，
∵M點在雙曲線右支上，∴x₀²-y₀²=6，
解得，x₀=3，y₀=±

3

，
即有M（3，

3

）或（3，-

3

）；
（3）△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4

3

，由（2）知y_M=±

3

．
∴△F₁MF₂的高h=|y_M|=

3

，
∴S△F1MF2=

1

2

×

3

×4

3

=6．

點評：本題考查雙曲線的方程、定義和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．