Question

已知向量

m

=（x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，k為常數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（s，s+

1

2

）（s＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)s的取值范圍；
（2）對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞

t

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由條件

m

∥

n

便可得到存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)a，有

m

=a

n

，帶入坐標(biāo)便能得出f（x），并能求出f′（x）．根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，便得到f′（1）=0，從而求出k，求出函數(shù)f（x）．并能說(shuō)明x=1是f（x）的極點(diǎn)．對(duì)于第一問(wèn)，要使f（x）在（s，s+

1

2

）上存在極點(diǎn)，只要讓x=1在（s，s+

1

2

）內(nèi)即可，這便能求出s的取值范圍．對(duì)于第二問(wèn)，只要讓f（x）的最大值大于

t

x+1

的最大值即可讓條件成立，所以轉(zhuǎn)而求函數(shù)的最大值，從而得出t的取值范圍．

解答： 解：由

m

∥

n

可得：存在非零實(shí)數(shù)a使

m

=a

n

，所以得到：

x=a lnx+k=af(x)

，所以f(x)=

lnx+k

x

，所以f′(x)=

1-k-lnx

x2

；
由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線與y軸垂直得f′（1）=0，∴k=1，所以f（x）=

lnx+1

x

且x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（s，s+

1

2

）（s＞0）上存在極值，則

s＜1 s+ 1 2 ＞1

，∴

1

2

＜s＜1，∴s的取值范圍是（

1

2

，1）．
（2）設(shè)g（x）=

t

x+1

，對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞

t

x+1

恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立，則：f_max（x）＞g_max（x）；
∵f′（x）=-

lnx

x2

＜0，∴在[1，+∞）上f（x）單調(diào)遞減，所以f_max（x）=f（1）=1；
∵g′（x）=-

1

(x+1)2

＜0，∴在[1，+∞）上g（x）單調(diào)遞減，所以gmax(x)=g(1)=

t

2

；
∴1＞

t

2

，即t＜2∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)有：共線向量基本定理，切線的斜率和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的極點(diǎn)，求函數(shù)的最值．所要值得注意的是第二問(wèn)，要讓原不等式恒成立，只要讓函數(shù)的最大值滿足不等式即可．