Question

（2012•鹽城一模）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤

3

2

）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C₁是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h₁（t）；曲線C₂是一段拋物線，其焦點到準線的距離為

9

8

，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h₂（t）．
（1）試分別求出函數h₁（t）、h₂（t）的表達式；
（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應選用哪一種曲線？此時，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）對于曲線C₁，計算點O到AD的距離為1-cost，AB=DC=3-t，可得函數h₁（t）的表達式；對于曲線C₂，點O到AD的距離為

4

9

t2，AB=DC=3-t，可得函數h₂（t）的表達式；
（2）可判斷h₁（t）在[1，

3

2

]上單調遞減，所以當t=1時，h₁（t）取得最大值為3-cos1；可判斷函數h₂（t），當t=

3

2

時，h₂（t）取得最大值為

5

2

，比較它們的大小，即可得到結論．

解答：解：（1）對于曲線C₁，因為曲線AOD的解析式為y=cosx-1，
所以點D的坐標為（t，cost-1）…（2分）
所以點O到AD的距離為1-cost，而AB=DC=3-t，
則h1(t)=(3-t)+(1-cost)=-t-cost+4(1≤t≤

3

2

)…（4分）
對于曲線C₂，因為拋物線的方程為x2=-

9

4

y，即y=-

4

9

x2，
所以點D的坐標為(t，-

4

9

t2)…（2分）
所以點O到AD的距離為

4

9

t2，而AB=DC=3-t，
所以h2(t)=

4

9

t2-t+3(1≤t≤

3

2

)…（7分）
（2）因為h1′(t)=-1+sint＜0，
所以h₁（t）在[1，

3

2

]上單調遞減，所以當t=1時，h₁（t）取得最大值為3-cos1…（9分）
又h2(t)=

4

9

(t-

9

8

)2+

39

16

，而1≤t≤

3

2

，
所以當t=

3

2

時，h₂（t）取得最大值為

5

2

…（11分）
因為cos1＞cos

π

3

=

1

2

，
所以3-cos1＜3-

1

2

=

5

2

，
故選用曲線C₂，當t=

3

2

時，點E到BC邊的距離最大，最大值為

5

2

分米…（14分）

點評：本題重點考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是構建函數模型，考查函數最值的求解，有綜合性．