已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（
3
，
3
2
），橢圓C左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為E，△EF1F2為等邊三角形．定義橢圓C上的點(diǎn)M（x0，y0）的“伴隨點(diǎn)”為N（
x0
a
，
y0
b
）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C1的方程為（x+2a）2+y2=a2，圓C1和x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C1上不同于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB交y軸于S，T兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時，以ST為直徑的圓C2是否經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）直線l交橢圓C于H、J兩點(diǎn)，若點(diǎn)H、J的“伴隨點(diǎn)”分別是L、Q，且以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究△OHJ的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（
3
，
3
2
），及橢圓幾何量的關(guān)系，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）確定直線PA，PB的方程，可得S，T兩點(diǎn)的坐標(biāo)．當(dāng)點(diǎn)P變化時，確定以ST為直徑的圓C2的方程，令y=0，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷否經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點(diǎn)；
（Ⅲ）分類討論，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得：3x1x2+4y1y2=0，從而可得△OHJ的面積，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由已知
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
，解得a2=4，b2=3，
∴方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），則(x0+4)2+y02=4．
又A（-6，0），B（-2，0），所以lPA：y=
y0
x0+6
（x+6），S（0，
6y0
x0+6
），
lPB：y=
y0
x0+2
（x+1），T（0，
2y0
x0+2
）．
圓C2的方程為x2+(y-
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
2
)2=(
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
2
)2．
化簡得x2+y2-（
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
）y-12=0，
令y=0，得x=±2
3
．
又點(diǎn)（-2
3
，0），在圓C1內(nèi)，所以當(dāng)點(diǎn)P變化時，以ST為直徑的圓C2經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點(diǎn)（-2
3
，0）…（10分）
（Ⅲ）設(shè)H（x1，y1），J（x2，y2），則L（
x1
2
，
y1
3
），Q（
x2
2
，
y2
3
）；
1）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0；
有△=48（3+4k2-m2）＞0，x1+x2=
-8km
3+4k2
，x1x2=
4(m2-3)
3+4k2
 ①…（12分）
由以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得：3x1x2+4y1y2=0；
整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②
將①式代入②式得：3+4k2=2m2∴△＞0，
又點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=
|m|
1+k2

∴HJ=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
4
3
|m|
2m2

所以S△OHJ=
1
2
|HJ|d=
3
…（14分）
2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)方程為x=m（-2＜m＜2）
聯(lián)立橢圓方程得：y2=
3(4-m2)
4
代入3x1x2+4y1y2=0得3m2-
3(4-m2)
4
=0
∴m=±
2
5
5
，y=±
2
15
5

∴S△OHJ=
1
2
|HJ|d=
3

綜上：△OHJ的面積是定值
3

又△ODE的面積也為
3
，所以二者相等…（16分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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