Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點(diǎn)。

(1)證明PA平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF?
證明你的結(jié)論。

Answer 1

見解析

(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=CD=2，則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。
設(shè)=(x,y,z)是平面BDE的一個(gè)法向量，
則由，得；取x=-1，=(1,-1,1)，
∵·=2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一個(gè)法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一個(gè)法向量。
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ,由圖可知θ=<,>，
∴ cosθ=cos<,>=，
故二面角B-DE-C余弦值為。
(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB平面DEF，設(shè)=λ (0＜λ＜1)，
則 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)，
由·="0" 得 4λ² +4λ²-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ= (0,1)，此時(shí)PF=PB，                       
即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。