Question

（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，，，曲線C上任意—點(diǎn)滿足：．

(l)求曲線C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與曲線相交于M,N兩點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為，．試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)曲線C與y軸交于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)M (0,m)在線段DE上，點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動．若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)時，取得最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(l)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，，

所以，

又，

所以，即. 

（2）因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與橢圓相交的兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

所以可設(shè). 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040510470307813672/SYS201304051047478593592617_DA.files/image012.png">在橢圓上，所以有

， ………① 

， ………②

①-②得

.

又,， 

所以，

故的值與點(diǎn)的位置無關(guān)，與直線也無關(guān). 

（3）由于在橢圓上運(yùn)動，橢圓方程為，故，且

.  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040510470307813672/SYS201304051047478593592617_DA.files/image024.png">，所以

．

由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為時，取得最小值，即當(dāng)時，取得最

小值，而，故有，解得．

又橢圓與軸交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，而點(diǎn)在線段上，       即，亦即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

考點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程及橢圓與直線相交的性質(zhì)

點(diǎn)評：求軌跡方程的大體步驟：1建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo),2找到關(guān)于動點(diǎn)的關(guān)系式，3關(guān)系式坐標(biāo)化，整理化簡，4除去不滿足題意要求的個別點(diǎn)。本題第二三小題較復(fù)雜，學(xué)生很難達(dá)到滿分