Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

ax

x+1

，（a∈R）；g（x）=（1+k）^x-kx-1，k∈（-1，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求函數(shù)g（x）的最大值；
（Ⅲ）求證：

n

k=1

1

k+1

＜ln（n+1）＜

n

k=1

1

k

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）只要x+1≠0即可；
（2）先對k進(jìn)行討論，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值；
（3）利用函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′(x)=

1

x+1

-

a(x+1)-ax

(x+1)2

=

x+1-a

(x+1)2

，…（1分）
令⇒f′（x）=0，得x=a-1，
�。┊�(dāng)a-1≤-1⇒a≤0時(shí)：
在區(qū)間（-1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；          …（2分）
ⅱ）當(dāng)a-1＞-1⇒a＞0時(shí)：
在區(qū)間（-1，a-1）上，f′（x）＜0恒成立，故f（x）的減區(qū)間為（-1，a-1）；       …（3分）
在區(qū)間（a-1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增區(qū)間為（a-1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）�。﹌=0時(shí)，g（x）=0，所以g（x）_max=0；                          …（5分）
ⅱ）k≠0時(shí)，易知g′（x）=（1+k）^xln（1+k）-k，于是：g′（1）=（1+k）ln（1+k）-k，g′（0）=ln（1+k）-k，
由（Ⅰ）可知g′（1）＞0，下證g′（0）＜0，即證明不等式ln（1+x）-x＜0在x∈（-1，0）∪（0，+∞）上恒成立．
由上可知：不等式lln（x+1）＞

x

x+1

在x∈（-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，若x∈（-1，0）∪（0，+∞），則-

x

x+1

=

1

x+1

-1∈(-1，0)∪(0，+∞)，
故ln(

1

x+1

)=ln(1-

x

x+1

)＞

- x x+1

- x x+1 +1

=-x，
即當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，ln（x+1）＞-x，
從而ln（x+1），故當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，ln（x+1）-x＜0恒成立，即g′（0）＜0．…（7分）
又g（0）=g（1）=0，
綜上，當(dāng)k∈（-1，+∞），g（x）在[0，1]上的最大值為0．．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增，知f（x）＞0，
令x=

1

n

，有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n+1

，得

n

k=1

1

k+1

＜ln(n+1)，
由（Ⅱ）已證ln（x+1）-lnx＜0，得ln（n+1）＜x，
令x=

1

n

，有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n

得ln（n+1）＜

n

k=1

1

k

，
故

n

k=1

1

k+1

＜ln(n+1)＜

n

k=1

1

k

(n∈N+)，得證．…（12分）

點(diǎn)評：本題對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具進(jìn)行求解，題目比較綜合，是中檔題．