【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c,0)分別是橢圓G: 的左、右焦點,點M是橢圓上一點,且MF2⊥F1F2 , |MF1|﹣|MF2|= a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點,以AB為底作等腰三角形,頂點為P(﹣3,2),求△PAB的面積.

【答案】
(1)解:∵|MF1|﹣|MF2|= a,|MF1|+|MF2|=2a,

∴|MF1|= ,|MF2|=

∵MF2⊥F1F2,∴

,則 ,

∵c2=a2﹣4,∴a2=12,

∴橢圓


(2)解:設直線l的方程為y=x+m.

,得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①

設A、B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)(x1<x2),AB的中點為E(x0,y0),

,

∵AB是等腰△PAB的底邊,∴PE⊥AB.

∴PE的斜率 ,解得m=2.

此時方程①為4x2+12x=0,解得x1=﹣3,x2=0,∴y1=﹣1,y2=2,

∴|AB|=3

此時,點P(﹣3,2)到直線AB:x﹣y+2=0的距離d= ,

∴△PAB的面積S=


【解析】(1)本題關鍵是由MF2⊥F1F2得到|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2;(2)設出直線l的方程,借助一元二次方程根與系數(shù)的關系表示出PE的斜率,再結合PE⊥AB求得直線l的方程,即可求得三角形PAB的面積.
【考點精析】認真審題,首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:).

練習冊系列答案
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