Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）極大值；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，將代入中，對(duì)求導(dǎo)，令，，判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值；第二問(wèn)，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為，利用配方法求函數(shù)的最小值，解出a的取值范圍；第三問(wèn)，將題目轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，討論a的值，在每一種情況下判斷單調(diào)性，求函數(shù)最值，驗(yàn)證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

，

由解得，由解得，

故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.

（2），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，

只需2a不大于在上的最小值即可． 6分

而，則當(dāng)時(shí)，，

∴，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 8分

（3）因圖象上的點(diǎn)在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可．

由，

（�。┊�(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，令，得或，

①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無(wú)最大值，不滿足條件；

②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無(wú)最大值，不滿足條件．

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，因，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.