Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x
（1）若函數(shù)h（x）=

f′(x)

x

為奇函數(shù)，求a的值
（2）若?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，求k的取值范圍．
（3）若a＞-1，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意求得f′（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)h（x）=

f′(x)

x

為奇函數(shù)，可得f′（x）為偶函數(shù)，故2a+1=0，由此求得a的值．
（2）由題意根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k不再f′（x）的取值范圍內(nèi)，求得f′（x）的值域，再取補(bǔ)集可得k的范圍．
（3）求出f′（x）=（x-a-1）（x-a），分別①當(dāng)a≥1時(shí)、②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)、③當(dāng)0＜a＜1時(shí)、④當(dāng)a=0時(shí)四種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）區(qū)間[0，1]上的最大值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，∴f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a．
∵函數(shù)h（x）=

f′(x)

x

=2x-（2a+1）+

a2+a

x

  為奇函數(shù)，∴f′（x）為偶函數(shù)，∴2a+1=0，a=-

1

2

．
（2）若?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，故k不在f′（x）的取值范圍內(nèi)．
由于f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，∴k＜-

1

4

．
（3）∵a＞-1，f′（x）=x²-（2a+1）x+a²+a=（x-a-1）（x-a），∴a+1＞0，
①當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在區(qū)間[0，1]上恒成立，故f（x）區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，
故f（x）的最大值為f（1）=a²-

1

6

．
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，在（0，a+1）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
在（a+1，1）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
再根據(jù)f（0）=0，f（1）=a²-

1

6

，故當(dāng)-1＜a≤-

6

6

時(shí)，最大值為f（1）=a²-

1

6

；
當(dāng)-

6

6

＜a＜0時(shí)，最大值為f（0）=0．
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在（0，a）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（a，1）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，f（x）區(qū)間[0，1]上的最大值為f（a）=

1

3

a³+

1

2

a²．
④當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，f（x）區(qū)間[0，1]上的最大值為f（0）=0．
綜上可得，f_max（x）=

a2- 1 6   ，  a≥1 ，或-1＜a≤- 6 6 0   ， - 6 6 ＜a≤0 1 3 •a3+ 1 2 •a2 ，0＜ a＜1

．

點(diǎn)評：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的最大值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．