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(本小題滿分13分)已知函數f (x)=2n在[0,+上最小值是an∈N*).

(1)求數列{a}的通項公式;(2)已知數列{b}中,對任意n∈N*都有ba =1成立,設S為數列{b}的前n項和,證明:2S<1;(3)在點列A(2n,a)中是否存在兩點A,A(i,j∈N*),使直線AA的斜率為1?若存在,求出所有的數對(i,j);若不存在,請說明理由.

(Ⅰ)  a=  (Ⅱ) 略  (Ⅲ)不存在


解析:

:解:(1)由f (x)=2nf ′(x)=,f (0)=2n.

f ′(x)=0得x=,當x∈(0,)時,f ′(x)<0,

x∈(,+∞)時,f ′(x)>0,∴f (x)在(0,+∞)上,f ()=,

x=時取得最小值.∴a=.

(2)證明:∵ba=1,∴b=.∵=,

S=.∴2S<1.

(3)不存在,假設存在兩點Ai,Aj滿足題意,即k=1, 令x=2n,y=a,則y= (x≥2)

點(x,y)在曲線x-y=1(x≥2,y≥1)上,而雙曲線的一條漸近線方程為y=x,其斜率為1,A,A在雙曲線上,故k<1矛盾.

另解:不存在,設A (2i,a),A(2j,a),(其中i,j∈N*),

k=

==1,故不存在.

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