Question

已知函數f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x-1）≤2；
（Ⅱ）當a＞0時，不等式2a-3≥f（ax）-af（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）分當x≤1時、當1＜x≤2時、當x＞2時三種情況，分別求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當a＞0時，利用絕對值三角不等式可得f（ax）-af（x）≤|a-1|，結合題意可得2a-3≥|a-1|，由此解得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等價于：當x≤1時，-2x+3≤2，即

1

2

≤x≤1．
當1＜x≤2時，1≤2，即 1＜x≤2．
當x＞2時，2x-3≤2，即2＜x≤

5

2

．
綜上所述，原不等式的解集為{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．
（Ⅱ）當a＞0時，f（ax）-af（x）=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|，
所以，2a-3≥|a-1|，解得a≥2．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了等價轉化以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．