對(duì)于定義域?yàn)?/span>A的函數(shù)f(x),如果任意的x1,x2A,當(dāng)x1x2時(shí),都有f(x1)f(x2),則稱函數(shù)f(x)A上的嚴(yán)格增函數(shù);函數(shù)f(k)是定義在N*上,函數(shù)值也在N*中的嚴(yán)格增函數(shù),并且滿足條件f(f(k))3k.

(1)證明:f(3k)3f(k)

(2)f(3k1)(kN*)的值;

(3)是否存在p個(gè)連續(xù)的自然數(shù),使得它們的函數(shù)值依次也是連續(xù)的自然數(shù);若存在,找出所有的p值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

1)見解析(22×3k1(kN*)3存在p3k11

【解析】(1)證明:對(duì)kN*f(f(k))3k,f[f(f(k))]f(3k)

由已知f(f(k))3k,f[f(f(k))]3f(k),

、②∴f(3k)3f(k)

(2)f(1)1,由已知f(f(k))3kf(1)3,矛盾;

設(shè)f(1)a1,f(f(1))f(a)3,

f(k)嚴(yán)格遞增,即1af(1)f(a)3

f(1)2,

f(f(1))f(a)3,故f(f(1))f(2)3.

f(1)2,f(2)3.

f(3)3f(1)6,f(6)f(3·2)3f(2)9,

f(9)3f(3)18f(18)3f(6)27,

f(27)3f(9)54f(54)3f(18)81.

依此類推歸納猜出:f(3k1)2×3k1(kN*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(1)當(dāng)k1時(shí),顯然成立;

(2)假設(shè)當(dāng)kl(l≥1)時(shí)成立,即f(3l1)3l1,

那么當(dāng)kl1時(shí),f(3l)f(3×3l1)3f(3l1)3×2×3l13l.猜想成立,由(1)(2)所證可知,對(duì)kN*f(3k1)2×3k1成立.

(3)存在p3k11,當(dāng)p個(gè)連續(xù)自然數(shù)從3k1→2×3k1時(shí),函數(shù)值正好也是p個(gè)連續(xù)自然數(shù)從f(3k1)2×3k1f(2×3k1)3k.

 

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(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2

(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.

 

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(1)證明B1C1CE

(2)求二面角B1CEC1的正弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.

 

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