Question

(本小題滿分16分)

已知數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存

在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）證明：存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為．

Answer 1

【解】（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

    所以；

綜上所述，．                                 ……………………3分

   （2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，

因?yàn)?sub>，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在； …………5分

    當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以， ……………………7分

    令，得，此時(shí)，，

    所以，，

    所以；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿足題設(shè).

……………………10分

（3）作如下構(gòu)造：，其中，

它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)， ……12分

顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形．

由的任意性，這樣的三角形有無窮多個(gè)．                    ……………………14分

下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似：

若三角形和相似，且，則，

整理得，所以，這與條件相矛盾，

因此，任意兩個(gè)三角形不相似．

故命題成立．                                                  ……………………16分

    【注】1．第（2）小題當(dāng)a_k不是質(zhì)數(shù)時(shí)，p，r的解不唯一；

2.  第（3）小題構(gòu)造的依據(jù)如下：不妨設(shè)，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因?yàn)槿��?xiàng)均為整數(shù)，所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子，經(jīng)驗(yàn)證，僅含或時(shí)不合，所以；

      3．第（3）小題的構(gòu)造形式不唯一．