(2010江蘇卷)18、(本小題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、,其中m>0,

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡;

(2)設(shè),求點(diǎn)T的坐標(biāo);

(3)設(shè),求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))。

 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?疾檫\(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。

(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

,得 化簡得。

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線

(2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,)、N(,

直線MTA方程為:,即,

直線NTB 方程為:,即。

聯(lián)立方程組,解得:,

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為

(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為

直線MTA方程為:,即,

直線NTB 方程為:,即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到,

解得:。

(方法一)當(dāng)時(shí),直線MN方程為:

 令,解得:。此時(shí)必過點(diǎn)D(1,0);

當(dāng)時(shí),直線MN方程為:,與x軸交點(diǎn)為D(1,0)。

所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1,0)。

(方法二)若,則由,得,

此時(shí)直線MN的方程為,過點(diǎn)D(1,0)。

,則,直線MD的斜率,

直線ND的斜率,得,所以直線MN過D點(diǎn)。

因此,直線MN必過軸上的點(diǎn)(1,0)。

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