(2010江蘇卷)18、(本小題滿分16分)

在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點為A、B,右焦點為F。設(shè)過點T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、,其中m>0,。

(1)設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡;

(2)設(shè),求點T的坐標;

(3)設(shè),求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))。

 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程,考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。

(1)設(shè)點P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

,得 化簡得。

故所求點P的軌跡為直線。

(2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,)、N(,

直線MTA方程為:,即,

直線NTB 方程為:,即。

聯(lián)立方程組,解得:,

所以點T的坐標為。

(3)點T的坐標為

直線MTA方程為:,即,

直線NTB 方程為:,即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時考慮到

解得:、。

(方法一)當時,直線MN方程為:

 令,解得:。此時必過點D(1,0);

時,直線MN方程為:,與x軸交點為D(1,0)。

所以直線MN必過x軸上的一定點D(1,0)。

(方法二)若,則由,得,

此時直線MN的方程為,過點D(1,0)。

,則,直線MD的斜率,

直線ND的斜率,得,所以直線MN過D點。

因此,直線MN必過軸上的點(1,0)。

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