Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，M、N分別是AB₁、A₁C₁的中點．
（1）求證：MN⊥AB₁，MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

（1）證明：由三視圖可知，在這個多面體的直觀圖中，AA₁⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB₁=4
∴CA，CB，CC₁兩兩垂直
以C為原點，CA，CB．CC₁所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），A₁（3，0，4），B₁（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）
∴，
∴
∴MN⊥AB₁，
∵，∴
∴MN∥BC₁，
∵MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（2）解：過A作AH⊥BC₁于H，連接CH，則CH⊥BC₁，
∴∠AHC是二面角A-BC₁-C的平面角
在直角△BC₁C中，CH=BCsin∠CBC₁=4sin45°=2
在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，
∴cos∠AHC==
∴二面角A-BC₁-C的余弦值為
分析：（1）要證直線與直線垂直，利用空間直角坐標系，根據(jù)坐標求數(shù)量積為0即可；證線與平面平行，證明向量共線即可．
（2）二面角的余弦值，利用三垂線定理，作出二面角的平面角，求解即可．
點評：本題考查了學生對空間直角坐標系的運用，二面角的作法，其中根據(jù)三視圖，判斷出該幾何體為直三棱柱是解答本題的關鍵．是中檔題．