Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2．

（1）求證：AB⊥BC；
（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為 ，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：如右圖，取A1B的中點D，連接AD，

因AA1=AB，則AD⊥A1B

由平面A1BC⊥側面A1ABB1，

且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC．

因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

則AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，

又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC

（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

則CD是AC在平面A1BC內(nèi)的射影

∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且點D是A1B中點

∴ ，且 ，

∴

過點A作AE⊥A1C于點E，連DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，則AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，

且直角△A1AC中：

又 ，

∴ ，

且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角

∴ ，即二面角A﹣A1C﹣B的大小為 ．

【解析】（1）取A1B的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面A1BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA1⊥BC．由此能證明AB⊥BC．（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．