Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g(x)=

x

x+1

．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)-1＜x₁＜0＜x₂時(shí)，f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）＞0；
（3）求證：f²（x）-xg（x）≤0恒成立．

Answer 1

（1）h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x＞-1，h/(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
令h^/（x）＜0，得：-1＜x＜0，則h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
令h^/（x）＞0，得：x＞0，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）_min=h（0）=0，
則當(dāng)x＞-1時(shí)f（x）≥g（x）恒成立．f/(x)=

1

x+1

＞0，g/(x)=

1

(x+1)2

＞0，
則f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均單調(diào)遞增．
易知：0＞f（x₁）＞g（x₁），f（x₂）＞g（x₂）＞0，
則-f（x₂）g（x₁）＞-f（x₁）g（x₂），
即：f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）＞0．
（3）f2(x)-xg(x)=ln2(x+1)-

x2

x+1

，
令F(x)=ln2(x+1)-

x2

x+1

，
則F/(x)=

2ln(x+1)

x+1

-

x2+2x

(x+1)2

=

2(x+1)ln(x+1)-(x2+2x)

(x+1)2

，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x²+2x），
則G^/（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，
則H/(x)=

2

x+1

-2=

-2x

x+1

．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，H^/（x）＞0，則H（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，H^/（x）＜0，則H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故H（x）≤H（0）=0，即G^/（x）≤0，
則G（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，G（x）＞G（0）=0，
即F^/（x）＞0，則F（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，G（x）＜G（0）=0，
即F^/（x）＜0，則F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故F（x）≤F（0）=0，
即f²（x）-xg（x）≤0．