Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1化簡整理得

an

an-1

=

1

2

，進而可以推斷數列{a_n}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列，根據等比數列的通項公式求得答案．
（Ⅱ）把（1）中求得a_n代入b_n=（2n-1）a_n中求得b_n，進而通過錯位相減法求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1
∴3a_n=5a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2，n∈N^*），
所以數列{a_n}是以2為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴a_n=2^2-n
（Ⅱ）b_n=（2n-1）•2^2-n
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1++（2n-1）•2^2-n
同乘公比得

1

2

Tn=1×20+3×2-1+5×2-2++(2n-1)•21-n
∴

1

2

Tn=1×2+2×20+2×2-1+2×2-2++2•22-n-(2n-1)21-n
=2+4[1-(

1

2

)n-1]-(2n-1)•21-n
∴T_n=12-（2n+3）•2^2-n．

點評：本題主要考查了數列的遞推式．對于由等比數列和等差數列構成的數列常可用錯位相減法求得前n項和．