設橢圓的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞．
【答案】分析：（1）設P（x，y），則，利用直線AP與BP的斜率之積為，即可求得橢圓的離心率；
（2）依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x，kx），則，進一步可得，利用AP|=|OA|，A（-a，0），可求得，從而可求直線OP的斜率的范圍．
解答：（1）解：設P（x，y），∴①
∵橢圓的左右頂點分別為A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴，
∵直線AP與BP的斜率之積為，∴
代入①并整理得
∵y≠0，∴a2=2b2
∴
∴
∴橢圓的離心率為；
（2）證明：依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x，kx），∴
∵a＞b＞0，kx≠0，∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴
∴
∴
代入②得
∴k2＞3
∴直線OP的斜率k滿足|k|＞．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線的斜率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于兩點，c是橢圓的半焦距，

（1）求m的值；

（2）O為坐標原點，若，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線與直線分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值

 

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已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于兩點，c是橢圓的半焦距，.

（1）求m的值；

（2）O為坐標原點，若，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線與直線分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆廣東肇慶高二上學期期末質量檢測理科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求動點C的軌跡E的方程；

（3）設直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西南昌市高三第二次模擬測試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山西省高三下學期5月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓：的離心率等于，點在橢圓上.

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設橢圓的左右頂點分別為,,過點的動直線與橢圓相交于,兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由。

 

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