已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時，求此雙曲線的方程．
【答案】分析：（1）、設(shè)所求的雙曲線的方程為，再由題設(shè)條件求出a和c，從而求出此雙曲線的離心率．
（2）、設(shè)所求的雙曲線的方程為，則再利用均值不等式求當(dāng)取得最小值時此雙曲線的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求的雙曲線的方程為，
由
∴b2=c2-a2=2-a2．
由點在雙曲線上，
∴，
∴離心率
（Ⅱ）設(shè)所求的雙曲線的方程為，
則
∵△OFP的面積為
∵
解得∵，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
此時
（舍）．
則所求雙曲線的方程為．
點評：本題是雙曲線的綜合題，難度較大．重點考查雙曲線的性質(zhì)和待定系數(shù)法的應(yīng)用，解題時要注意均值不等式的靈活應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為
6
2
.
（Ⅰ）若點P的坐標(biāo)為(2，
3
)，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若
OF
•
FP
=(
6
3
-1)c2，當(dāng)|
OP
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（重點中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，C是直線L1：y=mx+6上任一點（A、B、C三點不共線）試問：是否存在實數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（07年朝陽區(qū)一模）（14分）  已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為

   （Ⅰ）若點P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；

   （Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時，求此雙曲線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時，求此雙曲線的方程．

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