Question

已知點，，動點的軌跡曲線滿足，
，過點的直線交曲線于、兩點.
（Ⅰ）求的值，并寫出曲線的方程；
（Ⅱ）求△面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）.  （Ⅱ）△面積的最大值為3，此時直線的方程為.

(1)先設(shè)出動點M(x,y),然后再△中利用余弦定理得,再轉(zhuǎn)化成,把條件代入上式可得,即
根據(jù)橢圓定義可確定點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓.進而方程易求.
（2）設(shè)直線的方程為，可避免對斜率不存在情況的討論.再與橢圓方程聯(lián)立消x后得關(guān)于y的一元二次方程，因為,把面積表示成關(guān)于m的函數(shù)然后再利用函數(shù)求最值的方法求解即可
（Ⅰ）設(shè)，在△中，，，
根據(jù)余弦定理得.………12分即.
.
而，所以. 
所以.　 　　　　　　 　　　　………………4分
又，
因此點的軌跡是以、為焦點的橢圓（點在軸上也符合題意），
，.
所以曲線的方程為.            ………………6分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為.
由，消去x并整理得.    ①
顯然方程①的,設(shè),,
則
由韋達定理得，.     …………9分
所以.    …………11分
令，則，.         …………12分
由于函數(shù)在上是增函數(shù).
所以，當，即時取等號.
所以，即的最大值為3.
所以△面積的最大值為3，此時直線的方程為