Question

11．設(shè)點(diǎn)M（m，0）在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，4]．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程可得-4≤x≤4．由|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及橢圓的性質(zhì)可知，取得最小值4m≥4，結(jié)合點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，可求m得范圍

解答 解：設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，故-4≤x≤4．
|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
∵當(dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)x=4時(shí)，|MP|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，所以-4≤m≤4．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，4]．
故答案為：1≤m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，解題中要注意橢圓的范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．