Question

9．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為${S_n}（n∈{N^*}）$，若S₃=a₄+2，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得d=2，a₁=1，進(jìn)而得到所求通項公式；
（2）求得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，再由裂項相消求和即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₃=a₄+2得：3a₁+3d=a₁+3d+2∴a₁=1，
又∵a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，∴${a_3}^2={a_1}{a_{13}}$，
即${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$，解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{2n+1}]=\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．