Question

拋物線y=g（x）過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設函數f（x）=（x﹣n）g（x）在x=a和x=b處取到極值．

（1）用m，x表示y=g（x）并比較a，b，m，n的大�。ㄒ�求按從小到大排列）；

（2）若，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

考點：

直線與圓錐曲線的綜合問題．

專題：

綜合題．

分析：

（1）設拋物線方程，利用拋物線過點P，可得k=1，從而可得y=g（x）=x（x﹣m），利用函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，結合m＞n＞0，即可比較a，b，m，n的大��；

（2）設切點Q（x₀，y₀），求導數，可得切線的方程，利用切線過原點，得兩條兩條切線的斜率，根據，兩條切線垂直，即可求得函數解析式．

解答：

解：（1）由拋物線經過點O（0，0）、A（m，0）

設拋物線方程y=kx（x﹣m）（k≠0），

又拋物線過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）．              …（3分）

∴f（x）=（x﹣n）g（x）=x³﹣（m+n）x²+mnx，

∴f′（x）=3x²﹣2（m+n）x+mn，

∵函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，…（5分）

∴f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m²﹣2（m+n）m+mn=m（m﹣n）＞0    …（7分）

f′（n）=3n²﹣2（m+n）n+mn=n（n﹣m）＜0，

又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）

（2）設切點Q（x₀，y₀），則切線的斜率k=f′（x₀）=3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn

又y₀=﹣（m+n）+mnx₀，所以切線的方程是y﹣+（m+n）﹣mnx₀=[3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn]（x﹣x₀）…（9分）

又切線過原點，故﹣+（m+n）﹣mnx₀=[3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn]（﹣x₀）

所以2﹣（m+n）=0，解得x₀=0，或x₀=．      …（10分）

兩條切線的斜率為k₁=f′（0）=mn，，

由，得（m+n）²≥8，∴，

∴，

所以…（12分）

又兩條切線垂直，故k₁k₂=﹣1，

所以上式等號成立，有，且mn=1．

所以f（x）=x³﹣（m+n）x²+mnx=x³﹣x²+x．           …13 分

點評：

本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．