Question

（2012•湘潭三模）拋物線y=g（x）過點(diǎn)O（0，0）、A（m，0）與點(diǎn)P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設(shè)函數(shù)f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值．
（1）用m，x表示y=g（x）并比較a，b，m，n的大�。ㄒ�求按從小到大排列）；
（2）若m+n≤2

2

，且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線方程，利用拋物線過點(diǎn)P，可得k=1，從而可得y=g（x）=x（x-m），利用函數(shù)f（x）在x=a和x=b處取到極值，結(jié)合m＞n＞0，即可比較a，b，m，n的大�。�
（2）設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，y₀），求導(dǎo)數(shù)，可得切線的方程，利用切線過原點(diǎn)，得兩條兩條切線的斜率，根據(jù)m+n≤2

2

，兩條切線垂直，即可求得函數(shù)解析式．

解答：解：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）、A（m，0）
設(shè)拋物線方程y=kx（x-m）（k≠0），
又拋物線過點(diǎn)P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）．              …（3分）
∴f（x）=（x-n）g（x）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，
∵函數(shù)f（x）在x=a和x=b處取到極值，…（5分）
∴f′（a）=0，f′（b）=0，
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m（m-n）＞0    …（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）
（2）設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，y₀），則切線的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2（m+n）x₀+mn
又y₀=x03-（m+n）x02+mnx₀，所以切線的方程是y-x03+（m+n）x02-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（x-x₀）…（9分）
又切線過原點(diǎn)，故-x03+（m+n）x02-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（-x₀）
所以2x03-（m+n）x02=0，解得x₀=0，或x₀=

m+n

2

．      …（10分）
兩條切線的斜率為k₁=f′（0）=mn，k2=f′(

m+n

2

)，
由m+n≤2

2

，得（m+n）²≥8，∴-

1

4

(m+n)2≥-2，
∴k2=f′(

m+n

2

)=-

1

4

(m+n)2+mn，
所以k1k2≥mn(mn-2)=(mn-1)2-1≥-1…（12分）
又兩條切線垂直，故k₁k₂=-1，
所以上式等號(hào)成立，有m+n=2

2

，且mn=1．
所以f（x）=x³-（m+n）x²+mnx=x³-2

2

x²+x．           …13 分

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．