如圖，在直三棱柱ABC-中，，D，E分別為BC，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，四邊形是邊長為6的正方形.

 

 

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值.

 

【答案】

（1）證明：連結(jié)，與交于O點(diǎn)，連結(jié)OD.

因?yàn)镺，D分別為和BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D//。

又OD，  ，

所以.…………………………4分

（2）證明：在直三棱柱中，

，

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421461489062676/SYS201205242147498281710488_DA.files/image010.png">為BC中點(diǎn)，

所以又，

所以.

又

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421461489062676/SYS201205242147498281710488_DA.files/image015.png">為正方形，D，E分別為BC，的中點(diǎn)，

所以.

所以.      所以

 

 

（3）解：如圖，以的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，.

由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量。

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由

令，則.

所以.

從而.

因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421461489062676/SYS201205242147498281710488_DA.files/image034.png">為銳角，

所以二面角的余弦值為

【解析】略

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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