Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e ^-x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）定義在R上的奇偶性，并證明；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，試判斷l(xiāng)og_a（-2t²+2t）的值的正負(fù)號，其中t∈（0，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）證明f（-x）=e^-x-e^x=-f（x）即可；
（2）先求得-2t2+2t=-2(t-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

＜1，再求得a＞e²-1＞1，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象可知log_a（-2t²+2t）＜0．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
證明：f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵m≤1-

1

e2x

恒成立，∴m≤(1-

1

e2x

)min，
又因?yàn)楹瘮?shù)y=1-

1

e2x

在[-1，1]是增函數(shù)
∴m≤1-e²
即有a＞（e^2x-1）_min，所以a＞e²-1
又因?yàn)?2t2+2t=-2(t-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

＜1，且a＞e²-1＞1
所以log_a（-2t²+2t）＜0．

點(diǎn)評：本題是指數(shù)函數(shù)綜合題，考察了函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．