Question

已知0＜x＜

π

2

，且t是大于0的常數(shù)，f(x)=

1

sinx

+

t

1-sinx

的最小值為9，則t=

 

．

Answer 1

分析：可令a=sinx，b=1-sinx，由0＜x＜

π

2

知，a，b∈（0，1），此時(shí)有M=

1

a

+

t

b

的最小值為9，且a+b=1，令M=（

1

a

+

t

b

）（a+b），展開后利用基本不等式得到關(guān)于t的方程，解出t值

解答：解：由題，可令a=sinx，b=1-sinx，由0＜x＜

π

2

知，a，b∈（0，1）
此時(shí)有M=

1

a

+

t

b

的最小值為9，且a+b=1
所以M=（

1

a

+

t

b

）（a+b）=1+t+

b

a

+

at

b

≥1+t+2

t

=9等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

at

b

①時(shí)成立，
解1+t+2

t

=9可得t=4，將t=4代入①可解得sinx=

1

3

，故所求t值符合題意
故答案為4

點(diǎn)評(píng)：本題知道了最小值，利用不等式等號(hào)成立得到兩個(gè)方程，解出t與sinx的值，本題考查知識(shí)的靈活運(yùn)用的能力．