Question

如圖，圓C₁：（x-a）²+y²=r²（r＞0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點M（2，1），且拋物線在點M處的切線過圓心C₁．求C₁和C₂的標準方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據M在拋物線C₂上，求出拋物線方程，進而得到C₂在點M處的切線方程求出圓心的坐標，再結合M在圓C₁上即可求出圓C₁的標準方程．

解答： 解：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=2，
故C₂：x²=4y…（6分）
由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
從而C₂在點M處的切線方程為y-1=x-2…（8分）
令y=0有x=1，圓心C₁（1，0），…（10分）
又M（2，1）在圓C₁上
所以（2-1）²+1=r²，解得r²=2，故C₁：（x-1）²+y²=2…（13分）

點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，涉及到拋物線以及圓的標準方程的求法，考查了基本的分析問題的能力和基礎的運算能力．