Question

如圖，在四棱柱中，底面是正方形，側棱與底面垂直，點是正方形對角線的交點，，點，分別在和上，且．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求的長；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取，連結和,

∴，∥，，∥，

∴，∥．

∴四邊形為平行四邊形，

∴∥，

    在矩形中，，

    ∴四邊形為平行四邊形．

    ∴∥，∥．

    ∵平面，平面，

    ∴∥平面．       ————————4分

（Ⅱ）連結，在正四棱柱中，

    平面，

    ∴，，

    ∴平面，

    ∴．

    由已知，得平面．

    ∴，，

    在△與△中， ，，

    ∴△∽△

    ∴，．—————————9分

（Ⅲ）以為原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系．

      ．

      ，

      由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，

      設為平面的一個法向量，

      則  ，即  ，

令，所以 ．

      ∴，

      ∵二面角的平面角為銳角，

      ∴二面角的余弦值為．  —————————13分