Question

已知實(shí)數(shù)，函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值;
（2）當(dāng)時(shí),判斷的單調(diào)性,并說明理由；
（3）求實(shí)數(shù)的范圍，使得對于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)，都存在以為邊長的三角形.

Answer 1

（1）2；（2）遞增；（3）．

解析試題分析：(1)研究函數(shù)問題，一般先研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性，周期性等等，如本題中函數(shù)是偶函數(shù)，因此其最小值我們只要在時(shí)求得即可；（2）時(shí)，可化簡為，下面我們只要按照單調(diào)性的定義就可證明在上函數(shù)是單調(diào)遞增的，當(dāng)然在上是遞減的；（3）處理此問題，首先通過換元法把問題簡化，設(shè)，則函數(shù)變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/47/0d/4710ddc83c1b7a49e6f29c0c474c8fcb.png" style="vertical-align:middle;" />，問題變?yōu)榍髮?shí)數(shù)的范圍，使得在區(qū)間上，恒有．對于函數(shù)，我們知道，它在上遞減，在上遞增，故我們要討論它在區(qū)間上的最大（小）值，就必須分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)顯然是，，，在時(shí)還要討論最大值在區(qū)間的哪個(gè)端點(diǎn)取得，也即共分成四類．
試題解析：易知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/76/c/1bgpc3.png" style="vertical-align:middle;" />，且為偶函數(shù).
（1）時(shí),          2分
時(shí)最小值為2.              4分
（2）時(shí),
時(shí)， 遞增；   時(shí)，遞減；          6分
為偶函數(shù).所以只對時(shí)，說明遞增.
設(shè)，所以，得

所以時(shí)， 遞增；                  10分
（3），，
從而原問題等價(jià)于求實(shí)數(shù)的范圍，使得在區(qū)間上，
恒有.                           11分
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
由得，
從而；                          12分
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
由得，從而；        13分
③當(dāng)