Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函數(shù)，則f（x）＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用奇偶性求a的值，再判斷f（x）的單調(diào)性，將f（x）＜0化為具體的不等式

1+x

1-x

＜1即可．

解答： 解：∵f（x）=lg（

2

1-x

+a），∴f（0）=0，∴l(xiāng)g（2+a）=0，∴a=-1．
∴f（x）=lg（

2

1-x

-1），

2

1-x

-1＞0，得

1+x

1-x

＞0，-1＜x＜1，令t=

2

1-x

-1，
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，t1-t2=

2

1-x1

-

2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴t₁＜t₂，∴l(xiāng)gt₁＜lgt₂∴f（x₁）＜f（x₂），故y=f（x）在（-1，1）上是單調(diào)增函數(shù)
又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，則f（x）＜0化為

1+x

1-x

＜1，

1+x

1-x

-1=

2x

1-x

＜0，得x＜0，或x＞1，又∵-1＜x＜1，∴-1＜x＜0
故解集為：（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題利用奇偶性結(jié)合單調(diào)性解復(fù)合函數(shù)不等式，屬于中檔題型