(2012•東莞市模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形.
(Ⅰ)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;
(Ⅱ)用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1?試畫(huà)出圖形;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)為E,求平面AB1E與平面ABCD所成二面角的余弦值.
分析:(Ⅰ)直接畫(huà)出該幾何體的直觀圖如圖1所示,然后求出所求體積.
(Ⅱ)結(jié)合體積關(guān)系,說(shuō)明用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體,
其拼法如圖2所示.通過(guò)VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼圖形成立.
(Ⅲ)設(shè)B1E,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,連接GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,連接HB1,說(shuō)明∠B1HB為平面AB1E與平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角.在Rt△ABG中,求解平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.
解答:解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條
側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的
正方形,高為CC1=6,故所求體積是V=
1
3
×62×6=72
  …(4分)
(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,
故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體,
其拼法如圖2所示.
證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的
正方形,于是VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼圖形成立.…(4分)
(Ⅲ)設(shè)B1E,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,
連接GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,
連接HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角.
在Rt△ABG中,AG=
180

BH=
6×12
180
=
12
5
,
B1H=
BH2+BB12
=
18
5

cos∠B1HB=
HB
HB1
=
2
3
,
故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為
2
3
.…(4分)
點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系,考查空間想象能力,平面與平面所成角的求法,考查計(jì)算能力.
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π
8
)=
2
3
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1
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1
2
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1
3

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