Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面BCC₁B₁內有一點M，滿足∠MD₁D=∠BD₁D，則點M的軌跡是（　　）

• A、圓的一部分
• B、橢圓的一部分
• C、雙曲線的一部分
• D、拋物線的一部分

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點M的軌跡是雙曲線的一部分．

解答： 解：以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AB=1，M（x，1，z），D（0，0，0），D₁（0，0，1）B（1，1，0），
∴

D1B

=(1，1，-1)，

D1D

=(0，0，-1)，

D1M

=(x，1，z-1)，
∵∠MD₁D=∠BD₁D＜

π

2

，
∴cos∠MD₁D=cos∠BD₁D，
∴

(z-1)•(-1)

x2+1+(z-1)2

=

1

3

，
整理，得x²-2z²+4z=1，（0＜x＜1，0＜z＜1），
∴點M的軌跡是雙曲線的一部分．
故選：B．

點評：本題考查點的軌跡的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．