Question

下列說法正確的是（　　）

• A、曲線的切線和曲線的交點(diǎn)有且只有一個(gè)
• B、過曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)
• C、若f′（x₀）不存在，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處無切線
• D、若y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處有切線，則f′（x₀）不一定存在

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：舉例說明選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系說明C錯(cuò)誤，D正確．

解答： 解：對(duì)于A，曲線的切線和曲線的交點(diǎn)不一定唯一，如曲線y=x³+1在（-

1

2

，

7

8

）處的切線與曲線有另外一個(gè)交點(diǎn)（1，2）；
對(duì)于B，過曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，如經(jīng)過曲線上一點(diǎn)但是不是在該點(diǎn)與曲線相切而是在其他地方相切，比如y=y=x³與y=3x-2相切于點(diǎn)（1，1），同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)另外一點(diǎn)（a，b），我們就可以說過點(diǎn)（a，b）的直線y=3x-2與曲線y=x³相切，但切點(diǎn)是（1，1）而不是（a，b）；
對(duì)于C，若f′（x₀）不存在，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處無切線錯(cuò)誤，如曲線在某點(diǎn)處的切線垂直于x軸，此時(shí)f′（x₀）不存在，但曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處有切線；
對(duì)于D，由曲線在一點(diǎn)有平行y軸的切線，且函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)，則f′（x₀）不一定存在．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了可導(dǎo)與連續(xù)間的關(guān)系，關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，是中檔題．