Question

設(shè)a＞0，a≠1，0＜x＜1．求證：|log_a(1－x)|＞|log_a(x＋1)|．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：平方后作差． 　　loga2(1－x)－loga2(x＋1)＝[loga(1－x)＋loga(x＋1)][loga(1－x)－loga(x＋1)]＝loga(1－x2)·loga． 　　當(dāng)a＞1時(shí)，loga(1－x2)＜0，loga＜0， 　　∴l(xiāng)oga2(1－x)－loga2(x＋1)＞0，即|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|； 　　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga(1－x2)＞0，loga＞0， 　　∴l(xiāng)oga2(1－x)－loga2(x＋1)＞0，即|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|． 　　綜上，所證不等式成立． 　　分析一：本題若證|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|，只需證loga2(1－x)＞loga2(x＋1)，這樣脫掉了絕對值符號，越過了一個(gè)障礙． 　　證法二：∵0＜x＜1，∴l(xiāng)g(1－x)＜0，lg(1＋x)＞0，lg(1－x2)＜0． 　　∴|loga(1－x)|－|loga(x＋1)|＝－ 　�。�[－lg(1－x)－lg(1＋x)]＝－＞0． 　　評注：本證法運(yùn)算簡單，避免了對a的討論． 　　分析二：能否利用換底公式將以a為底的對數(shù)換成以10為底的常用對數(shù)，進(jìn)而作差比較． 　　證法三：||＝|log(1+x)(1－x)|． 　　∵1＋x＞0，0＜1－x＜1， 　　∴原式＝－log(1+x)(1－x)＝log(1+x)＝log(1+x)＝1－log(1+x)(1－x2)． 　　∵0＜1－x2＜1，1＋x＞1，∴l(xiāng)og(1+x)(1－x2)＜0． 　　∴||＞1，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|． 　　評注：本題采用作商比較法，巧妙地把底換成大于1的數(shù)(1＋x)，不僅便于式子的化簡，同時(shí)也避免了對底數(shù)a的討論． 　　分析三：觀察被證不等式，發(fā)現(xiàn)不等式的兩端均為絕對值表示式，均為正數(shù)，因此可試用作商比較法來比較大小．