試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,(1)判斷討論函數(shù)的單調(diào)性,可以求出其導(dǎo)數(shù)
,然后解不等式
,其解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,不等式
的解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)
在區(qū)間
上是增函數(shù),說明不等式
在區(qū)間
上恒成立,本題中可求出
,因此不等式
,由于
,則
在
上恒成立,即
的最小值
,記
,它是二次函數(shù),要求它的最小值,可分
和
討論;(3)題意是不等式
在
上恒成立,記
,則當(dāng)
時(shí),
恒成立,求其導(dǎo)數(shù)
,當(dāng)
時(shí),在
上,
,
為減函數(shù),
不恒成立(如
),
時(shí),此時(shí)要討論
與
的大小,以便討論函數(shù)
的單調(diào)性,求出其最小值
,因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152391584.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立,就是
.
(1)當(dāng)a=1時(shí),
,
所以
, 2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152734391.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
恒成立,
所以
在
上單調(diào)遞增; 3分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152796953.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151736463.png" style="vertical-align:middle;" />在[1, 4]上是增函數(shù),所以在[1, 4]上
恒成立,
即
在[1, 4]上恒成立,① 5分
令
,對(duì)稱軸為x=1,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151626403.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),要使①成立,只需g(1)≥0,解得:a≤1,所以0<a≤1,
當(dāng)
時(shí),要使①成立,只需g(4)≥0,解得:a≥
,所以
≤a<0,
綜上,
≤a<0或0<a≤1; 8分
(3)由題意,有
在
上恒成立,
令
,則
在
上恒成立,②
所以
, 10分
當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閤>2,則
,所以
在
上單調(diào)遞減,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240501531401045.png" style="vertical-align:middle;" />,所以②不恒成立, 12分
當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以
,
所以只需
,解得:
,
所以
時(shí)②恒成立; 14分
當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
在
上單調(diào)遞增,
所以
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050153405979.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,所以②不恒成立,
綜上,實(shí)數(shù)
的取值范圍是:
。 16分