Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=lg ，若對任意實數(shù)t∈[ ，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】[0,+∞）∪（﹣∞,﹣3]∪{﹣1}
【解析】解：當x＞0時，f（x）=）=lg =lg ，

∵y=2﹣x是減函數(shù)，可得f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

∵對任意實數(shù)t∈[ ，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0即f（t+a）＞f（t﹣1）恒成立，

又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

∴|t+a|＞|t﹣1|，（2a+2）t+a2﹣1＞0在t∈[ ，2]上恒成立，

，

化簡得 解得a≥0或a≤﹣3或a=﹣1

所以答案是：[0，+∞）∪（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．